大家談數學（第４篇）
臺北市立建國高級中學 石厚高 老師（退休）
洪萬生老弟精選發行了十年的《HPM 通訊》中45篇約30萬言，輯成《ＨＰＭ 十年風
華》。本書共分５大類，他們是：數學史、數學哲學與美學、數學教育、ＨＰＭ 研究、
高中數學教學、書籍介紹與評論。ＨＰＭ是 Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｓtudy Ｇroup
on the Ｒelations
between the Ｈistory and Ｐedagogy
Ｍathematics 的縮寫，是
隸屬於國際數學教育委員會（ＩＣＭＩ）的一個研究，專門推動數學史與數學教學之關聯
的研究與教學。
〈Ａlgebra 的語源〉談及清康熙時皇帝曾把 Ａlgebra
譯為 “阿爾熱八達”，我曾
在舊書攤看過一本中華書局的《清朝野史大觀》裡看到皇帝問一位大官兒“你會不會愛熱
幾不納？”大官答以不會，皇帝說“愛熱幾不納可以測量．．快去學”，手邊無該書，也
忘了是那一位皇帝。那個時代譯名是很出了些笑話，例如把 translation 譯作“撞死雷
神”。愛熱幾不納者 Ａlgebra 是也。
＜數學郵票中的歷史風華＞介紹Robin J.Wilson 的 《Ｓtamping through
Ｍathematics》我國也數學郵票。民國９５年１２月１日，由南開大學教務處與天津市集
郵協會主辦之南開週末論壇，顧沛 教授作了題為“郵票中的數學文化──從勾股定理談起
”的報告。顧 教授從數學文化和集郵文化的視角，介紹了從勾股定理到費馬大定理的歷史
淵源和歷史地位，並展示了中國、希臘和捷克等國與勾股定理相關的郵票，闡述了勾股定
在古巴比倫、古希臘和中國的發現、證明及其數學思想和智慧。
民國８８年２月１０日中央日報＜德國新鈔說故事＞有一段很有趣的報導，德國發行
鈔票上有數學家肖像：
卡爾．菲特列．高斯（十元馬克）：數學大師，於天文學、土地測旺量學、
物理學方面也有所成就，當代的五十種數學定律、定理、公和方法即以高斯
為名，其受尊崇的程度可想而知，而在十元新鈔上，則可看到由他找出來的
常熊分配圖。他哥廷恩大學的故居，今日轉成學生宿舍，和他的老主人一樣
，造福許多學子。
很遺憾，這張十元馬克沒有刊出高斯像片。
黃俊瑋的＜從複數到四元數＞根據Ｓondheimer，Ｅrnst
and Ａlan Ｒogerson，
Ｎunbers and Ｉnfinity：Ａ history account of mathematical concepts（Ｃambridge
Ｃambridge Ｕniversity Ｐress）而改寫。
本文共分前言、四元數的誕生、四元數的應用與發展（１．如何描述三維空間中，向
量的旋轉 ２．三維空間中，任一向量對於某給定軸與旋轉角的旋轉公式 ３．四元數的
發展）與反思等４節，其中最後一節＜反思＞讀者要細看。
談四元數的文章《數學傳播》有４篇，他們是《數學傳播 １４》蔡天鉞的＜四元數
與三維空間＞、《數學傳播 ５７》李白飛的＜向量空間與四元數＞、《數學傳播 ５８
》余文卿．葉國榮的＜四元數與Cayley數＞。三文各具特色，蔡文取材自１９７９年６月
份 Ｔｈｅ ＭatHhematical Ｇazette 中
Ｄouglas Ｑuadling 的 Ｑ for quaternions
，用例題說明四元數的妙用，讀者要演算一遍才能體會四元數的奧妙、李文有二段話讀者
要注意：
“三維空間向量及其內積、外積之成為數學物理的工具，大約從１９世紀８０
年代初期開始，在此之前被普遍使用的，則是 Ｈamilton 所創造的‘四元數’。
由於複數在在平面上幾何及物理的有效應用，促使人們探索一種三維‘複數’的工
具”１８４３年 Ｈamilton 創造了形如 a+bi+cj+dk 的所謂四元數，其中 a、
b、c、d 為實數。
另一段是
因為乘法交換性的缺乏，使得四元數的運算顯得繁而難，以致於向量的內積外
積引進，四元數就被人淡忘了。
本文５個例題非常精彩，前４是向量內積、外積之應用，第５題是最簡單的四元數應
用，可是要用內積、外積來作是多麼的麻煩。
的等式就是 Ｌagrange 等式，在證明四平方和定理（任一正整數可表成四整數的平方和）
中扮演非常重要的角色。喜歡數論的讀者可以參考。
黃俊瑋的＜從複數到四元數＞是４篇中較為完整的，當然要有整體認識，還是要找專
書來看。
謝佳叡的＜最美的數學式＞很有趣味，其實這是個見仁見智的問題，你認為美的我不
以為然，我認為美的他又不同意。１９８８年 Ｄavid Ｗells 對 Ｍathematical
Ｉntellgence 讀者作調查，設定２４個選項，該雜誌的讀者都是專業數學家，回收的問
卷也以數學家為主，認為最美的前１０名是：
１．圓周率的複數式為－１ ２．尤拉多面體公式 v+f=e+2 ３．質數有無窮多個
４．只存在５種正多面體 ５．圓周率平方／６ ６．固定點定理
７．不存在平方為２的有理數 ８．圓周率是越超數 ９．四色定理
１０．每個形如 4n+1 的質數必可唯一表示成兩個完全平方數之和
與研究生票選：
１．最美的數學式子，研究生選出１０個，大學生選出１０個，其中有８個相同。
２．最想知道的數學式子發展史，研究生選出１０個，大學生選出１０個，其中有６個相
同。
３．最有用的數學式子，研究生選出８個，大學生選出９個，其中有７個相同。
結果都差不多。
蘇惠玉的＜三角函數公式的托勒密方法＞簡介了托勒密的生平，並專論托氏的三角公
式：
托勒密定理：圓內接四邊形二雙對邊乘積之和等於對角線的乘積
差角公式 sin(x-y) = sinx cosy - cosx siny
半角公式 sin?x/2 =(1-cosx)/2
和角公式 cos(x+y) = cosx cosy - sinx siny
他的證法和坊間參考書或教科書不太一樣，有興趣的讀者可以參考。
陳鳳珠的＜虛數的誕生＞談到解三次方程式是虛數誕生的契機。看這篇文章要演算，
它可不是床邊讀物。本文很用心，對方程式論著迷的讀者可以很有收獲。談方程式論就要
談斷層，這可就說來話長了。
數學史上有個很有趣的斷層，讀過高中的人士都會學過二次方程式有公式可以解，三
次方程式與四次方程式也都有類似的公式，可是五次與五次以上的方程式就沒有公式了。
持續二百年之久都找不到。沒有公式是根本沒有呢？還是數學家太差勁兒作不出來呢？還
是他們太懶惰，中國數學家成天打麻將，西方數學家成天跳舞？
二百年之後這個問題給一個法國數學天才解決了, 原來五次與五次以上的方程式並沒
有這樣的公式，它太困難了牽涉了很高深的數學理論。這位天才沒有考上大學，報考工技
學院二次都沒有錄取，又不滿現實二次入獄，出來之後又為了一個女孩和人決鬥，決鬥的
前一天晚上他知道「壯士一去不復還」所以就把五次方程式的不可解情況說的很清楚，交
給了一個好朋友。他雖然是數學天才，可是拔槍的動作就是慢了那麼一點兒，被對方一顆
子彈打在肚子上，他躺在田裡第二天被一個農夫發現送去醫院，得了腹膜炎一代天才就此
夭折。好朋友把他的作品發表了，可是沒有反應，十三年後，他的成就才得到了數學界的
喝彩，他彌平了數學上二百年的斷層實在了不起。天才的大名是伽羅華 (Galois 1811--
1832) 他只活了二十一歲，如果多活幾年會有更大成就。《數學傳播》上有二文介紹了這
位不世出的奇才：
康明昌 幾個有名的數學問題 : 方程式求解問題 (下) 33
石厚高 數學近貌----群與對稱 35 (譯)
黃清揚的＜新書介紹：《數之意義》＞約３０００字，介紹一冊老書，是商務在民國
３０年代出版的，民國９４年９月再版。本書一直沒有受到注意，想必是那個時代商務的
書字太小又是〞小本〞印刷，可以插在在褲袋裡，所以沒有聽人提及。
作者有二位余介石與倪可權，前者在書成之時任教於大學，暑假期間為中等學校教師
講習會講學，《數之意義》乃是其中教材選輯而成。
他是為應中等學校教師之需求而寫，出版之目的有二：促進中等學校教育之革新是其
一，奠定學生研究高深數理之基礎是其二。遺憾的是本書對以後我國數學教育發展沒有甚
麼影響。這一點是可以原諒的，那個時代戰爭頻仍民不聊生，沒有人注意到他是很自然的
。本文對作者及內容談得很具體，不過對倪可權著墨不多，當然是原書未曾提及。本文達
到了專書介紹的標的，能找原書看看，收獲是不一樣的。
手邊有一冊《數的趣談》（Asimov On Numbers） 是阿西莫夫（Isaac Asimov）的作
品凡異出版，沒有署名譯者，應該是出於大陸學者之手。從１９５９年起，他每月給《幻
想和科學小說雜誌》（The Magazine of Fantasy and Science Fiction）
撰寫一篇科學
文章，他以不拘形式的手法，涉及多種學識，很能引人入勝。他是馳名的科幻大師，是美
國著名科普作家，他的興趣是多方面的，又有深入研究的毅力，為眾多的科學愛好者提供
通俗淺顯的文章。經過多年的努力他成了多產作家，１９７９年２月，美國出版界出版了
他的第２００本書。
在（The best of Isaac Asimov）有他學數學的心路歷程，很值得教師參考。他大學
不是讀數學，可是他對數學有興趣，他自稱數學程度只在小於微積分這一邊兒。我作簡
潔介紹給大家參考。
阿西莫夫 Issac Asimov 是科幻小說的世界級大師，民國８１年四月六日 於紐約以心
臟衰竭病逝紐約。大師有著多方面的興趣，一生出版了近五百本書的作家，不但是科技界
就算文、史、哲來說也很是罕見。他不是普通作家，他視寫作為生命，很多人能寫，而他
是不寫就活不下去。
大師１９２０年生於蘇俄斯麾林斯克，他是猶太人，三年後隨雙親赴美。他在布魯克
林成長，讀小學並取得公民資格。他的記憶力驚人，十六歲前讀完中學。在哥倫比亞大學
讀書時想要作化學家，他的父親原冀望他學醫。化學系畢業後在軍中待了一段時間，又於
一九四九獲博士學位，波士頓大學醫藥學院聘為講師，一九五五年升助理教授，在核酸方
面作研究。不過他在化學上的研究愈來愈和他在文學領域的熱情相衝突，終於在１９５８
年退休作個專職的作家。
１９３９年他的一個短篇發表於驚異小說（Amazing Stories） 從此開始了他不可思
議的科幻小說作家生涯。大師讀數學的經驗很有趣，值得給數學老師參考。下面用第一人
稱講來比較方便。在我是個小學生時，常感覺到長大了會是個數學家。我喜歡上數學課，
因為它們是那麼容易。每個新學期拿到新課本，我從頭到尾瀏覽一遍，真的是美，又清楚
又簡單，我輕鬆讀完毫無困難。
事實上數學之美是和其它學問是大不相同的，必需強記的是少而又少。有幾個定義和
公理，一些術語，其它的可都是推論。只要有點兒感覺，這些推論都是很明顯的；或者說
一經點破它們就很明顯了。
只要能掌握這一點，數學不僅是簡單的，可也是無可匹敵令人興奮的心智挑戰。可是
後來簡單容易的事成了冷冰冰的風謈。這種事兒在數學遊戲裡有人來得早，例如長除法、
分數、比例，這些兒不論多仔細的解釋再也不那麼明顯了。唯有不斷的集中注意力去鑽研
才能理解，它不是很明顯的。那時數學就不再有趣了。
障礙來得愈晚你就愈覺得幸運，其豈然乎？來得愈晚傷得愈重，一碰上了就粉身碎骨
。就拿我來說罷，我一直到唸完中學都沒有遇到困難，數學永遠是容易的、有趣的永遠得
"甲"
的科目，不需要死用功。
有點不對勁兒的地方必需提提。１９３２至１９３５年我讀的高中是布魯克林男子中
學，在全市以數學校隊神勇著名，而我不是校隊的一員。
我有個糢糊印象，總以為數學校隊能作些我從未聽過的數學，而他們所面對或解出來
的題目遠超過我的程度。我一點都不以為忤，完全不想它，大家奉行不渝的歪理，不予理
會的困難就不是困難。
在哥倫比亞大學我選了解析幾何與微積分，這時我體認了某些不太習慣的心智摩擦，
我有些頭暈，可是我還是得了一個 "甲"。
第二學期我可嚇壞了，我發現我必需用功了；
有些地方我讀了好幾遍還是沒有弄清楚，我必需傷腦筋作作業，有時我沒作出來，或者更
糟我作錯了。真丟臉那學期我得了一個 "乙"。
我碰上了不能通過的障礙，我怎麼辦呢，最有力而最有效的因應之道就是我再也不選
另一門數學課了。後來我只能偶而作些雞零狗碎的數學，以往的熱情都不見了。它不再是
金光閃閃的 "當然啦"，而是不太有把握的 "我想我見過。"
真幸運微積分是很高的障礙，比它低的層次還有很大的空間任我遨遊，所以我還能寫
些數學書。我只要記住在微積分這邊兒就成了。１９５８年某大學的一位老兄要我為年輕
人寫一本數學書，他以為我是個有成就的數學家，我一直想不出來如何向他解釋，現在呢
大概不用向他解釋了。
我爽快的答意了，寫了一本數的範疇（Realm of Numbers），儘可能的躲開微積分，
事實上它講的是基本數學。第二章才討論阿拉伯數字在第四章談分數，從自然數到超限數
，我小心的循序漸進，永遠要讓它看來容易。
從以上大師的自白裡，我們可以知道他喜歡數學，對數學有些天賦。一直到中學畢業
數學都沒有遇到學習高原，這是很容易理解的。數學是一種思維方式，它需要相當的專注
。它的古典結果的發展曾耗時數世紀之久，並已表示成嚴謹的邏輯形式。所有人類追縱方
式皆已滅跡，它的基本技巧就像學習演奏樂器一樣，需要多次演練。所以三個美國球員談
打球的心路歷程，一個說我一唸到微積分就唸不下來，一個說我一學到解析幾何就讀不下
來了，一個說你們學過小學五年級那個最麻煩的多位數除法嗎？三人的資質不同能達到的
水準也就有差異了。
大師的《數的趣談》凡異出版社出版有中譯本。
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