數學課程中的兩個邏輯概念

數學課程中的兩個邏輯概念
江慶昱
臺中市私立衛道中學數學科退休教師
楔子
亞里斯多得認為：愈重的物體，落下得愈快。1589 年，伽利略如此舉反證：
把兩物 A、B 綁在一起，成為A+B。假設A 比B 重，則由高處落下時，因為B
落下的速度比A 慢，把A 拖住，所以A+B 落下的速度比A 慢；又A+B 比A 重，
所以A+B 落下的速度又比A 快，矛盾。
所以「任何物體，同時從相同的高處落下，皆同時著地」，伽利略如是說。
99 課程綱要把歸謬證法拿掉了，我猜想最少有兩位先生會很鬱卒。一位是
歐幾里得先生，他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」，另
一位是蔡聰明先生，他用了28 種方法證明了2 是無理數。
直觀與證明
最近看到一篇文章。關於 2 是無理數的證明：
假設 2 p
q
= 是有理數，其中p, q 是正整數且(p, q)=1, 則
2
2 2 p
q
= , 直觀上，「如
果
p
q
不是整數，則
2
2
p
q
更不可能是整數。」矛盾，所以假設錯誤，即2 時無理
數，得證。(這是因為，如果p, q 沒有相同的成分，p2 和q2 自然也不會有相同的
成分；如果
p
q
都無法化簡成整數，
2
2
p
q
更沒有機會了。因此，這個式子是個明顯
可笑的矛盾：等號左邊是整數，右邊不是整數。兩者怎麼可能相等？)
我想提一段陳年往事。多年前，一次國中數學週考中，某老師出了一道題目：
證明三角形兩邊和大於第三邊。
直觀上，這何需證明。因為兩點之間直線最短嘛！於是，我買了歐幾里得的
幾何原本。根據歐幾里得的體系，證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很
長的篇幅。
我相信這不會是出題老師的本意。我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩
點之間直線最短」。那麼，考題應該改成：請說明「三角形兩邊和大於第三邊」。
-2-
中學階段不必強調數學的嚴密性，這是共識(60 年代的新數學過度強調嚴密
性是失敗的原因之一)。但是直觀的說明與嚴格的證明應該予以區隔，這純屬我
個人的看法。
如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是是值得深思的事，沒有數學內容的
邏輯教學是空洞的，在教學過程中順便引入邏輯的觀念應該可行。
等價
高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」。
有一年，大學聯考考這麼一題，「證明海龍公式」：
邊長 a, b, c 的三角形，面積= s(s − a)(s − b)(s − c)
那時候，大學錄取率大約30%不到，補習班之間競爭非常激烈，大家趕著把
解答登報。有一間補習班第一天是這樣證明的：
因為
sin ( )
2
A ss a
bc
−
= , cos ( )( )
2
A s b s c
bc
− −
= ,
所以
1 sin 1 (2sin cos )
2 2 2 2
Δ = bc A = bc A A =…= s(s − a)(s − b)(s − c)
第二天，趕快發報更正。因為在邏輯上，第一天拿一個等價的命題當作證明，等
於沒有證明。換句話說，患了邏輯上的錯誤了。
等價的一些例子
我們在國中時有這樣的性質 p：三角形任兩邊和大於第三邊，又在書中的同
一個角落看到q：三角形任兩邊差小於第三邊。很容易證明「p⇔ q」。這種情
形我們叫p 與q 等價，意思是p 與q 是同一回事。以下舉一些等價的例子：
1. p：平行公設：過直線外一點恰有一直線與之平行。
q：三角形內角和為180 度。
2. G 是Δ ABC 的重心，則p, q, r 三個向量式等價
p：
1 1
3 3
AG = AB + AC
􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇
-3-
q：
1 1 1
3 3 3
OG = OA+ OB + OC
􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇
r：AG + BG + CG = 0
􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁊􀁊􀁊􀁇 􀁇
3. p：
(u v)2 u 2 v 2 ⋅ ≤
􀁇 􀁇 􀁇 􀁇
(柯西不等式)，
q： u + v ≤ u + v
􀁇 􀁇 􀁇 􀁇 (三角不等式)
4. p：周長固定的平面圖形中以圓形面積最大。
q：面積固定的平面圖形中以圓形周長最小。
5. (1)正弦定理 (2)餘弦定理 (3)投影定理等價。
6. 實數的完備性有多種等價的敘述。(我有一位同事到師大數學系修碩士
班學分就是上了一本這樣的書)
7. p：算幾不等式。
q：Cauchy 不等式。
算幾不等式與 Cauchy 不等式的等價
算幾不等式與 Cauchy 不等式在形式上相差很多，兩者會等價，甚感意外。
我第一次是在臺中一中的網頁內看到證明過程，當時沒有仔細研究，後來回去找
就找不到那份資料了。最近上網搜尋，找到建中徐健策老師的一篇專題，算是一
償宿願，這是我寫這篇文章的另一個因緣。
後記
1900 年量子力學開始萌芽，到1965 年朝永振一郎(S. Tomonaga)、薛文格
(Julian Schwinger)與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事。
重點是薛文格與費曼對量子電動力學的看法與算法南轅北轍，薛文格用的是
歐洲優雅的數學，費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學。把兩者結合為一，或
者說，看出兩者的「等價性」的是戴森(Freeman J. Dyson)，我覺得這比證明兩命
題的等價有更深遠的意義。
非歐幾何的發展也有類似的地方，義大利幾何學家 Eugenio Beltrami
(1835-1899) 證明了Lobachevsky(1793-1856)與Ferdinand Minding(1806-1885)的
非歐幾何模型是「等價」的。
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(註：代數中，複數平面與平面向量同構，以上兩種情況說同構或等價，哪
一個說法比較恰當，當就教於各位。)
歸謬證法放在附錄，我觀察最近兩年的各校段考試題，大約只有3、4 個學
校段考中有考歸謬證法。
早年，國中考高中每年要考一題證明題，一題尺規作圖，當時，我們會努力
教證明題，當然包括用「窮舉法」證明：「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」。
基測不考證明題後，絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理。
向來就是「考試引導教學」，自古皆然。隋唐時期科舉要考算經，所以宋朝
有四位偉大的數學家：秦九韶、李治、楊輝、朱世傑。到明清科舉只考八股文，
可以印證中國數學沒落的一段史實。
證明與數學的關係就如同實驗與物理的關係。基測與學測不考證明題，相信
有不少人憂心忡忡，如今又把歸謬證法拿掉(放在附錄與拿掉等價)，應該有人輾
轉難眠吧!
早上(2012/8/29)看到新聞。十二年國教將於後年上路，臺大名譽教授劉廣定
批評，103 年到107 年的高中學生，要繼續接受舊課綱的教育，他堅決反對沒有
新課綱的十二年國教。後年就要推十二年國教，課綱最快106 年才能完成，到
108 年才有新課綱教科書可用，意味之前的高中生，都要繼續接受舊課綱教育。
芬蘭從 1980 年代開始教改，先找學校試辦，2000 年才全面實施；然而，臺
灣十二年國教從宣布到實施只三年準備期，讓人憂心。
天佑臺灣。
參考資料
1. 蔡聰明，〈 2 是無理數的28 種證明〉，《數學傳播季刊》23 卷1 期。
2. 王九逵，《邏輯與數學思維》，凡異。
3. 柯西不等式與排序不等式 p.230---------上海教育出版社：由排序原理可推出
包括平均值不等式，柯西不等式等多個重要不等式。
4. 天才之旅 p.61------------有幾個與平行公設等價的定理。
5. 宇宙波瀾(就是Dyson 回憶錄)------------ 天下文化
6. 宇宙的詩篇 p.84--------------------------天下文化
7. 非歐幾里得幾何學 p.32---------------------水牛出版社
8. http：//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_2_07/page2.html 中國數學史
上的黃金時代及其四個偉大的數學家
9. http：//math1.ck.tp.edu.tw/%E5%BE%90%E5%81%A5%E7%AD%96/math.htm
(徐健策老師專題)