2013年10月17日 星期四
2013年10月15日 星期二
現實版的“掃地僧”，義務輔導學生高數6年
2013年1月11日 新聞來源：瀟湘晨報
林科大現現實版的“掃地僧”，義務輔導學生高數6年
圖書館里，一名學生正爲微積分證明抓頭流汗，此時，掃地大媽從身邊走過，小聲地說，“用拉格朗日中值定理試試”，隨後飄然而去，該同學豁然開朗。
這則網絡段子讓人會心一笑。在中南林業科技大學的圖書館里，當學生面對高數題無從下手時，也有一名“老師”主動上前解答，現在已有6年時間。同學們不知其身份，隻親切地叫他“古教授”。1月9日下午，記者聯繫上“古教授”。接下來的事情卻讓記者大跌眼鏡——“古教授”說，自己並不是教授，隻是一名保潔員。
學生：“神祕教授”來圖書館義務輔導
拍下“古教授”輔導學生場景的，是中南林科大材料科學與工程學院的學生陳樂。陳樂說，高數很容易掛科，有了“古教授”幫忙，考試就不會那麼擔心了，“老教授身上的正能量讓我們感動。”
1月9日上午，記者來到了中南林業科技大學圖書館，發現不少自習的學生都知道這個輔導高數的“古教授”。中南林業科技大學旅游學院大一的曹同學說，自己認識“古教授”不到半年，但從學姐學長口中得知，這位神祕的“老教授”來圖書館義務輔導已經好幾年，“很多人都受過古老師的幫助。”曹同學介紹，“古教授”一般會在星期二、星期六、星期日的晚上到圖書館的自習室來，看到誰桌上放着高數書就會主動過去教，一直到晚上10點圖書館閉館才離開。“古教授”還留下了電話，隻要有問題打電話給他，他都會過來，“昨天我們班有同學打電話求助，他馬上就趕到圖書館來了。”
“古教授”：其實我是一名保潔員
關於“古教授”的身份，同學們都不清楚。1月9日下午，記者電話聯繫上了“古教授”。還沒等記者開口，他便答道，“今晚7點半，我會來學校。”當記者問他是否爲學校的退休教授時，他卻告訴記者，自己在湖南省地質礦產勘查開發局四廠二隊工作，“是一名保潔員。”
他介紹，他叫古棱峰，今年55歲，1981年畢業於懷化師範高等專科學校（現懷化學院）數學教育專業，1981年至1985年從事數學教學工作。然而，後來因爲個人原因，他離開了教學崗位。
“其實我一直都想去教大學。”古棱峰說，自己很喜歡從事高等數學的教學與研究，後來還利用空閑時間去湖南師大理學院與同學交流。2006年，他搬至中南林科大附近，便來此義務輔導學生，到現在已有6年。古棱峰說，自己喜歡學校的氛圍，還經常去音樂系的琴房彈鋼琴。
記者一直以爲古棱峰自稱保潔員是因爲看了網絡段子在開玩笑，再三向其確認。隨後，記者在湖南省地質礦產勘查開發局四廠二隊網站上，發現一篇標題爲《我的承諾》的文章，署名爲古棱峰：“我莊嚴承諾：在公共衛生保潔工作上，保證天天按質量打掃一棟衛生區，拖樓道、擦電梯，洗垃圾桶和垃圾站……”
[故事]
圖書館奇遇這位解題高手
回憶起第一次碰到古老師，曹同學至今還覺得很“神奇”：“當時我坐自習室門口位置，桌上攤着《經濟數學——微積分》的書，正對着‘求不定積分’的作業題發愁。”她發現，旁邊桌子上，有老師正在輔導别的同學。讓她驚喜的是，那個老師給同學講解完題後，轉過來對她說：“同學，你有什麼問題嗎？我可以幫你解決。”曹同學非常感謝古老師提供的幫助：“他很有耐心，不懂的地方會細細分析，那一章的内容在他的講解下變得很容易。”
另一個周同學則講了這樣的傳說：一個備戰考研的師姐想請古老師指導複習矩陣知識，結果古教授從最基礎的概念開始講起，把相關的知識點系統地梳理了一遍，“從晚上8點多講到10點多，還附帶講了近幾年的考研真題，把師姐都感動得哭了。”
本報記者文乃斐 實習生劉瀟婷 長沙報道
林科大現現實版的“掃地僧”，義務輔導學生高數6年
圖書館里，一名學生正爲微積分證明抓頭流汗，此時，掃地大媽從身邊走過，小聲地說，“用拉格朗日中值定理試試”，隨後飄然而去，該同學豁然開朗。
這則網絡段子讓人會心一笑。在中南林業科技大學的圖書館里，當學生面對高數題無從下手時，也有一名“老師”主動上前解答，現在已有6年時間。同學們不知其身份，隻親切地叫他“古教授”。1月9日下午，記者聯繫上“古教授”。接下來的事情卻讓記者大跌眼鏡——“古教授”說，自己並不是教授，隻是一名保潔員。
學生：“神祕教授”來圖書館義務輔導
拍下“古教授”輔導學生場景的，是中南林科大材料科學與工程學院的學生陳樂。陳樂說，高數很容易掛科，有了“古教授”幫忙，考試就不會那麼擔心了，“老教授身上的正能量讓我們感動。”
1月9日上午，記者來到了中南林業科技大學圖書館，發現不少自習的學生都知道這個輔導高數的“古教授”。中南林業科技大學旅游學院大一的曹同學說，自己認識“古教授”不到半年，但從學姐學長口中得知，這位神祕的“老教授”來圖書館義務輔導已經好幾年，“很多人都受過古老師的幫助。”曹同學介紹，“古教授”一般會在星期二、星期六、星期日的晚上到圖書館的自習室來，看到誰桌上放着高數書就會主動過去教，一直到晚上10點圖書館閉館才離開。“古教授”還留下了電話，隻要有問題打電話給他，他都會過來，“昨天我們班有同學打電話求助，他馬上就趕到圖書館來了。”
“古教授”：其實我是一名保潔員
關於“古教授”的身份，同學們都不清楚。1月9日下午，記者電話聯繫上了“古教授”。還沒等記者開口，他便答道，“今晚7點半，我會來學校。”當記者問他是否爲學校的退休教授時，他卻告訴記者，自己在湖南省地質礦產勘查開發局四廠二隊工作，“是一名保潔員。”
他介紹，他叫古棱峰，今年55歲，1981年畢業於懷化師範高等專科學校（現懷化學院）數學教育專業，1981年至1985年從事數學教學工作。然而，後來因爲個人原因，他離開了教學崗位。
“其實我一直都想去教大學。”古棱峰說，自己很喜歡從事高等數學的教學與研究，後來還利用空閑時間去湖南師大理學院與同學交流。2006年，他搬至中南林科大附近，便來此義務輔導學生，到現在已有6年。古棱峰說，自己喜歡學校的氛圍，還經常去音樂系的琴房彈鋼琴。
記者一直以爲古棱峰自稱保潔員是因爲看了網絡段子在開玩笑，再三向其確認。隨後，記者在湖南省地質礦產勘查開發局四廠二隊網站上，發現一篇標題爲《我的承諾》的文章，署名爲古棱峰：“我莊嚴承諾：在公共衛生保潔工作上，保證天天按質量打掃一棟衛生區，拖樓道、擦電梯，洗垃圾桶和垃圾站……”
[故事]
圖書館奇遇這位解題高手
回憶起第一次碰到古老師，曹同學至今還覺得很“神奇”：“當時我坐自習室門口位置，桌上攤着《經濟數學——微積分》的書，正對着‘求不定積分’的作業題發愁。”她發現，旁邊桌子上，有老師正在輔導别的同學。讓她驚喜的是，那個老師給同學講解完題後，轉過來對她說：“同學，你有什麼問題嗎？我可以幫你解決。”曹同學非常感謝古老師提供的幫助：“他很有耐心，不懂的地方會細細分析，那一章的内容在他的講解下變得很容易。”
另一個周同學則講了這樣的傳說：一個備戰考研的師姐想請古老師指導複習矩陣知識，結果古教授從最基礎的概念開始講起，把相關的知識點系統地梳理了一遍，“從晚上8點多講到10點多，還附帶講了近幾年的考研真題，把師姐都感動得哭了。”
本報記者文乃斐 實習生劉瀟婷 長沙報道
數學歸納法
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數學歸納法
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在《數學傳播》第七卷第四期裡有一篇文章〈一些不可能無限延長的數學遊戲〉，這篇文章亦收在數學傳播季刊選輯《離散數學(二)》之內，文中介紹了一些看起來好像永遠玩不完的遊戲，這些遊戲裡有一個希臘神話中的九頭怪蛇難題，這個問題初看我們會覺得怪蛇的頭似乎越砍越多，要砍的話永遠砍不完，但卻被「證明」了一次砍一個，不論怎麼砍，遲早能將怪蛇的頭全部砍掉。現在我們就來談談這個結果的證明，使我們能多知道一些這個遊戲裡的數學。
上面的這個結果是 Kirby 和 Paris 所證明的，為要說明他們證明這個結果的動機，我們必須回到自然數的「皮阿諾公設」。義大利數學家皮阿諾 (G.
Peano) 於1889年以拉丁文印一本小書，整本書共有36頁，書名為《算數原理，以一個新方法表示》(The principles of arithmetic,
presented by a new
method)。這本書中將自然數的一些性質抽象化而得到一組公設，盼望由這些公設藉著邏輯的演繹而得到所有自然數的性質，即將自然數「公設化」。皮阿諾把每一個自然數的下一個稱為這數的「後繼者」(successor)，用後繼者的說法，這組皮阿諾公設可以寫成下面的形式（括弧裡是用符號的寫法，其中
n+ 表示自然數 n 的後繼者）:
[轉]董世平http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_10_4_06/ |
2013年10月14日 星期一
小學這樣教？ 一題數學 家長槓老師
臉書上，一道三年級數學題引發家長網路上暴怒，901減多少等於106，空格中該填什麼數字，學生的算法是901減去106，得到答案795，卻被老師畫叉，老師的算法是901大約等於900、106大約等於100、900到100等於800，空格數字得到7。
這樣題目，是在小學三年級的數學課本，有一篇「估算」章節，裏頭題目都是用估計的計算方式帶進去，建構式的數學概念，大約的算法 惹得家長很火大，連數學老師都不太贊同。數學計算講求精準，建構式的估算教學是為了讓學生多元思考，但老師反倒強制用一種方式計算，其他的都不算對，有些本末倒置。對家長來說，似乎也違背當初建構式數學多元思考的教學美意。
[轉]
東森新聞 – 2013年10月13日 下午6:24萊因德紙草書
《萊因德紙草書》﹝Rhind Papyrus﹞是公元前1650年左右的埃及數學著作，屬於世界上最古老的數學著作之一。作者是書記官阿默斯。內容似乎是依據了更早年代﹝1849 B.C.
─1801 B.C.﹞的教科書，是為當時的包括貴族、祭司等知識階層所作，最早發現於埃及底比斯的廢墟中。公元1858年由英國的埃及學者萊因德﹝A. H. Rhind﹞購得，故名。現藏於倫敦大英博物館。該紙草書全長544厘米，寬33厘米。
紙草書的卷首載錄了一組分數分解表，把
﹝n為3到101之間的奇數﹞分解為單位分數﹝分子為1的分數﹞之和，如將
寫為
+ 
。接著列出了87個問題，每個問題都給出了解答。問題1─6是如上第二個表的應用，如問題3是10個人分6只麵包，問各得多少。7─20題是分數的乘法運算。21─23題分別是將一已知分數變為單位1和
。問題24─38內容在今天可歸為一元一次方程，其解法使用了假位法。其中後半部份﹝35─38﹞是關於量器海克特﹝hekat﹞的使用問題，39-40是關於麵包分配的問題，涉及等差數列。如第40題為：「把100只麵包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使最大的三份之和的
是最小的兩份之和，問各得多少？」問題41─46是體積問題。48─55題為面積問題，其中有圓、正方形、等腰三角形、等腰梯形等。圓的面積是直徑的九分之八的平方，即相當於取圓周率π=
3.16049。56─60題是金字塔問題，從中可看到三角學的初步知識。問題61以後是雜題，涉及許多實際問題，其中69─78題是關於食物中所含原料的比例問題。79題是一個等比數列問題。84題是牲畜飼料的分配問題。其它問題不甚完整。
萊因德紙草書是了解埃及數學的最主要依據。它準確反映了當時埃及的數學知識狀況，其中鮮明地體現了埃及數學的實用性。它對我們應該如何看待數學的起源問題有很大的啟發。
紙草書的卷首載錄了一組分數分解表，把
﹝n為3到101之間的奇數﹞分解為單位分數﹝分子為1的分數﹞之和，如將寫為 + 。接著列出了87個問題，每個問題都給出了解答。問題1─6是如上第二個表的應用，如問題3是10個人分6只麵包，問各得多少。7─20題是分數的乘法運算。21─23題分別是將一已知分數變為單位1和。問題24─38內容在今天可歸為一元一次方程，其解法使用了假位法。其中後半部份﹝35─38﹞是關於量器海克特﹝hekat﹞的使用問題，39-40是關於麵包分配的問題，涉及等差數列。如第40題為：「把100只麵包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使最大的三份之和的是最小的兩份之和，問各得多少？」問題41─46是體積問題。48─55題為面積問題，其中有圓、正方形、等腰三角形、等腰梯形等。圓的面積是直徑的九分之八的平方，即相當於取圓周率π=
3.16049。56─60題是金字塔問題，從中可看到三角學的初步知識。問題61以後是雜題，涉及許多實際問題，其中69─78題是關於食物中所含原料的比例問題。79題是一個等比數列問題。84題是牲畜飼料的分配問題。其它問題不甚完整。 萊因德紙草書是了解埃及數學的最主要依據。它準確反映了當時埃及的數學知識狀況，其中鮮明地體現了埃及數學的實用性。它對我們應該如何看待數學的起源問題有很大的啟發。
數學課程中的兩個邏輯概念
數學課程中的兩個邏輯概念
江慶昱
臺中市私立衛道中學數學科退休教師
楔子
亞里斯多得認為：愈重的物體，落下得愈快。1589 年，伽利略如此舉反證：
把兩物 A、B 綁在一起，成為A+B。假設A 比B 重，則由高處落下時，因為B
落下的速度比A 慢，把A 拖住，所以A+B 落下的速度比A 慢；又A+B 比A 重，
所以A+B 落下的速度又比A 快，矛盾。
所以「任何物體，同時從相同的高處落下，皆同時著地」，伽利略如是說。
99 課程綱要把歸謬證法拿掉了，我猜想最少有兩位先生會很鬱卒。一位是
歐幾里得先生，他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」，另
一位是蔡聰明先生，他用了28 種方法證明了2 是無理數。
直觀與證明
最近看到一篇文章。關於 2 是無理數的證明：
假設 2 p
q
= 是有理數，其中p, q 是正整數且(p, q)=1, 則
2
2 2 p
q
= , 直觀上，「如
果
p
q
不是整數，則
2
2
p
q
更不可能是整數。」矛盾，所以假設錯誤，即2 時無理
數，得證。(這是因為，如果p, q 沒有相同的成分，p2 和q2 自然也不會有相同的
成分；如果
p
q
都無法化簡成整數，
2
2
p
q
更沒有機會了。因此，這個式子是個明顯
可笑的矛盾：等號左邊是整數，右邊不是整數。兩者怎麼可能相等？)
我想提一段陳年往事。多年前，一次國中數學週考中，某老師出了一道題目：
證明三角形兩邊和大於第三邊。
直觀上，這何需證明。因為兩點之間直線最短嘛！於是，我買了歐幾里得的
幾何原本。根據歐幾里得的體系，證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很
長的篇幅。
我相信這不會是出題老師的本意。我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩
點之間直線最短」。那麼，考題應該改成：請說明「三角形兩邊和大於第三邊」。
-2-
中學階段不必強調數學的嚴密性，這是共識(60 年代的新數學過度強調嚴密
性是失敗的原因之一)。但是直觀的說明與嚴格的證明應該予以區隔，這純屬我
個人的看法。
如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是是值得深思的事，沒有數學內容的
邏輯教學是空洞的，在教學過程中順便引入邏輯的觀念應該可行。
等價
高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」。
有一年，大學聯考考這麼一題，「證明海龍公式」：
邊長 a, b, c 的三角形，面積= s(s − a)(s − b)(s − c)
那時候，大學錄取率大約30%不到，補習班之間競爭非常激烈，大家趕著把
解答登報。有一間補習班第一天是這樣證明的：
因為
sin ( )
2
A ss a
bc
−
= , cos ( )( )
2
A s b s c
bc
− −
= ,
所以
1 sin 1 (2sin cos )
2 2 2 2
Δ = bc A = bc A A =…= s(s − a)(s − b)(s − c)
第二天，趕快發報更正。因為在邏輯上，第一天拿一個等價的命題當作證明，等
於沒有證明。換句話說，患了邏輯上的錯誤了。
等價的一些例子
我們在國中時有這樣的性質 p：三角形任兩邊和大於第三邊，又在書中的同
一個角落看到q：三角形任兩邊差小於第三邊。很容易證明「p⇔ q」。這種情
形我們叫p 與q 等價，意思是p 與q 是同一回事。以下舉一些等價的例子：
1. p：平行公設：過直線外一點恰有一直線與之平行。
q：三角形內角和為180 度。
2. G 是Δ ABC 的重心，則p, q, r 三個向量式等價
p：
1 1
3 3
AG = AB + AC
-3-
q：
1 1 1
3 3 3
OG = OA+ OB + OC
r：AG + BG + CG = 0
3. p：
(u v)2 u 2 v 2 ⋅ ≤
(柯西不等式)，
q： u + v ≤ u + v
(三角不等式)
4. p：周長固定的平面圖形中以圓形面積最大。
q：面積固定的平面圖形中以圓形周長最小。
5. (1)正弦定理 (2)餘弦定理 (3)投影定理等價。
6. 實數的完備性有多種等價的敘述。(我有一位同事到師大數學系修碩士
班學分就是上了一本這樣的書)
7. p：算幾不等式。
q：Cauchy 不等式。
算幾不等式與 Cauchy 不等式的等價
算幾不等式與 Cauchy 不等式在形式上相差很多，兩者會等價，甚感意外。
我第一次是在臺中一中的網頁內看到證明過程，當時沒有仔細研究，後來回去找
就找不到那份資料了。最近上網搜尋，找到建中徐健策老師的一篇專題，算是一
償宿願，這是我寫這篇文章的另一個因緣。
後記
1900 年量子力學開始萌芽，到1965 年朝永振一郎(S. Tomonaga)、薛文格
(Julian Schwinger)與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事。
重點是薛文格與費曼對量子電動力學的看法與算法南轅北轍，薛文格用的是
歐洲優雅的數學，費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學。把兩者結合為一，或
者說，看出兩者的「等價性」的是戴森(Freeman J. Dyson)，我覺得這比證明兩命
題的等價有更深遠的意義。
非歐幾何的發展也有類似的地方，義大利幾何學家 Eugenio Beltrami
(1835-1899) 證明了Lobachevsky(1793-1856)與Ferdinand Minding(1806-1885)的
非歐幾何模型是「等價」的。
-4-
(註：代數中，複數平面與平面向量同構，以上兩種情況說同構或等價，哪
一個說法比較恰當，當就教於各位。)
歸謬證法放在附錄，我觀察最近兩年的各校段考試題，大約只有3、4 個學
校段考中有考歸謬證法。
早年，國中考高中每年要考一題證明題，一題尺規作圖，當時，我們會努力
教證明題，當然包括用「窮舉法」證明：「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」。
基測不考證明題後，絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理。
向來就是「考試引導教學」，自古皆然。隋唐時期科舉要考算經，所以宋朝
有四位偉大的數學家：秦九韶、李治、楊輝、朱世傑。到明清科舉只考八股文，
可以印證中國數學沒落的一段史實。
證明與數學的關係就如同實驗與物理的關係。基測與學測不考證明題，相信
有不少人憂心忡忡，如今又把歸謬證法拿掉(放在附錄與拿掉等價)，應該有人輾
轉難眠吧!
早上(2012/8/29)看到新聞。十二年國教將於後年上路，臺大名譽教授劉廣定
批評，103 年到107 年的高中學生，要繼續接受舊課綱的教育，他堅決反對沒有
新課綱的十二年國教。後年就要推十二年國教，課綱最快106 年才能完成，到
108 年才有新課綱教科書可用，意味之前的高中生，都要繼續接受舊課綱教育。
芬蘭從 1980 年代開始教改，先找學校試辦，2000 年才全面實施；然而，臺
灣十二年國教從宣布到實施只三年準備期，讓人憂心。
天佑臺灣。
參考資料
1. 蔡聰明，〈 2 是無理數的28 種證明〉，《數學傳播季刊》23 卷1 期。
2. 王九逵，《邏輯與數學思維》，凡異。
3. 柯西不等式與排序不等式 p.230---------上海教育出版社：由排序原理可推出
包括平均值不等式，柯西不等式等多個重要不等式。
4. 天才之旅 p.61------------有幾個與平行公設等價的定理。
5. 宇宙波瀾(就是Dyson 回憶錄)------------ 天下文化
6. 宇宙的詩篇 p.84--------------------------天下文化
7. 非歐幾里得幾何學 p.32---------------------水牛出版社
8. http：//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_2_07/page2.html 中國數學史
上的黃金時代及其四個偉大的數學家
9. http：//math1.ck.tp.edu.tw/%E5%BE%90%E5%81%A5%E7%AD%96/math.htm
(徐健策老師專題)
江慶昱
臺中市私立衛道中學數學科退休教師
楔子
亞里斯多得認為：愈重的物體，落下得愈快。1589 年，伽利略如此舉反證：
把兩物 A、B 綁在一起，成為A+B。假設A 比B 重，則由高處落下時，因為B
落下的速度比A 慢，把A 拖住，所以A+B 落下的速度比A 慢；又A+B 比A 重，
所以A+B 落下的速度又比A 快，矛盾。
所以「任何物體，同時從相同的高處落下，皆同時著地」，伽利略如是說。
99 課程綱要把歸謬證法拿掉了，我猜想最少有兩位先生會很鬱卒。一位是
歐幾里得先生，他在《幾何原本》中用歸謬證法證明了「質數有無窮多個」，另
一位是蔡聰明先生，他用了28 種方法證明了2 是無理數。
直觀與證明
最近看到一篇文章。關於 2 是無理數的證明：
假設 2 p
q
= 是有理數，其中p, q 是正整數且(p, q)=1, 則
2
2 2 p
q
= , 直觀上，「如
果
p
q
不是整數，則
2
2
p
q
更不可能是整數。」矛盾，所以假設錯誤，即2 時無理
數，得證。(這是因為，如果p, q 沒有相同的成分，p2 和q2 自然也不會有相同的
成分；如果
p
q
都無法化簡成整數，
2
2
p
q
更沒有機會了。因此，這個式子是個明顯
可笑的矛盾：等號左邊是整數，右邊不是整數。兩者怎麼可能相等？)
我想提一段陳年往事。多年前，一次國中數學週考中，某老師出了一道題目：
證明三角形兩邊和大於第三邊。
直觀上，這何需證明。因為兩點之間直線最短嘛！於是，我買了歐幾里得的
幾何原本。根據歐幾里得的體系，證明「三角形兩邊和大於第三邊」確實需要很
長的篇幅。
我相信這不會是出題老師的本意。我的判斷是出題老師只想要學生說明「兩
點之間直線最短」。那麼，考題應該改成：請說明「三角形兩邊和大於第三邊」。
-2-
中學階段不必強調數學的嚴密性，這是共識(60 年代的新數學過度強調嚴密
性是失敗的原因之一)。但是直觀的說明與嚴格的證明應該予以區隔，這純屬我
個人的看法。
如何在高中引入簡易邏輯是一件困難但是是值得深思的事，沒有數學內容的
邏輯教學是空洞的，在教學過程中順便引入邏輯的觀念應該可行。
等價
高中課程中另一個重要的邏輯概念是「等價」。
有一年，大學聯考考這麼一題，「證明海龍公式」：
邊長 a, b, c 的三角形，面積= s(s − a)(s − b)(s − c)
那時候，大學錄取率大約30%不到，補習班之間競爭非常激烈，大家趕著把
解答登報。有一間補習班第一天是這樣證明的：
因為
sin ( )
2
A ss a
bc
−
= , cos ( )( )
2
A s b s c
bc
− −
= ,
所以
1 sin 1 (2sin cos )
2 2 2 2
Δ = bc A = bc A A =…= s(s − a)(s − b)(s − c)
第二天，趕快發報更正。因為在邏輯上，第一天拿一個等價的命題當作證明，等
於沒有證明。換句話說，患了邏輯上的錯誤了。
等價的一些例子
我們在國中時有這樣的性質 p：三角形任兩邊和大於第三邊，又在書中的同
一個角落看到q：三角形任兩邊差小於第三邊。很容易證明「p⇔ q」。這種情
形我們叫p 與q 等價，意思是p 與q 是同一回事。以下舉一些等價的例子：
1. p：平行公設：過直線外一點恰有一直線與之平行。
q：三角形內角和為180 度。
2. G 是Δ ABC 的重心，則p, q, r 三個向量式等價
p：
1 1
3 3
AG = AB + AC
-3-
q：
1 1 1
3 3 3
OG = OA+ OB + OC
r：AG + BG + CG = 0
3. p：
(u v)2 u 2 v 2 ⋅ ≤
(柯西不等式)，
q： u + v ≤ u + v
(三角不等式)
4. p：周長固定的平面圖形中以圓形面積最大。
q：面積固定的平面圖形中以圓形周長最小。
5. (1)正弦定理 (2)餘弦定理 (3)投影定理等價。
6. 實數的完備性有多種等價的敘述。(我有一位同事到師大數學系修碩士
班學分就是上了一本這樣的書)
7. p：算幾不等式。
q：Cauchy 不等式。
算幾不等式與 Cauchy 不等式的等價
算幾不等式與 Cauchy 不等式在形式上相差很多，兩者會等價，甚感意外。
我第一次是在臺中一中的網頁內看到證明過程，當時沒有仔細研究，後來回去找
就找不到那份資料了。最近上網搜尋，找到建中徐健策老師的一篇專題，算是一
償宿願，這是我寫這篇文章的另一個因緣。
後記
1900 年量子力學開始萌芽，到1965 年朝永振一郎(S. Tomonaga)、薛文格
(Julian Schwinger)與費因曼得到諾貝爾物理獎是一段精采的故事。
重點是薛文格與費曼對量子電動力學的看法與算法南轅北轍，薛文格用的是
歐洲優雅的數學，費因曼的路徑積分用的是圖像式的數學。把兩者結合為一，或
者說，看出兩者的「等價性」的是戴森(Freeman J. Dyson)，我覺得這比證明兩命
題的等價有更深遠的意義。
非歐幾何的發展也有類似的地方，義大利幾何學家 Eugenio Beltrami
(1835-1899) 證明了Lobachevsky(1793-1856)與Ferdinand Minding(1806-1885)的
非歐幾何模型是「等價」的。
-4-
(註：代數中，複數平面與平面向量同構，以上兩種情況說同構或等價，哪
一個說法比較恰當，當就教於各位。)
歸謬證法放在附錄，我觀察最近兩年的各校段考試題，大約只有3、4 個學
校段考中有考歸謬證法。
早年，國中考高中每年要考一題證明題，一題尺規作圖，當時，我們會努力
教證明題，當然包括用「窮舉法」證明：「圓內接四邊形的充要條件為對角互補」。
基測不考證明題後，絕大部分的老師不會花時間去證明這個定理。
向來就是「考試引導教學」，自古皆然。隋唐時期科舉要考算經，所以宋朝
有四位偉大的數學家：秦九韶、李治、楊輝、朱世傑。到明清科舉只考八股文，
可以印證中國數學沒落的一段史實。
證明與數學的關係就如同實驗與物理的關係。基測與學測不考證明題，相信
有不少人憂心忡忡，如今又把歸謬證法拿掉(放在附錄與拿掉等價)，應該有人輾
轉難眠吧!
早上(2012/8/29)看到新聞。十二年國教將於後年上路，臺大名譽教授劉廣定
批評，103 年到107 年的高中學生，要繼續接受舊課綱的教育，他堅決反對沒有
新課綱的十二年國教。後年就要推十二年國教，課綱最快106 年才能完成，到
108 年才有新課綱教科書可用，意味之前的高中生，都要繼續接受舊課綱教育。
芬蘭從 1980 年代開始教改，先找學校試辦，2000 年才全面實施；然而，臺
灣十二年國教從宣布到實施只三年準備期，讓人憂心。
天佑臺灣。
參考資料
1. 蔡聰明，〈 2 是無理數的28 種證明〉，《數學傳播季刊》23 卷1 期。
2. 王九逵，《邏輯與數學思維》，凡異。
3. 柯西不等式與排序不等式 p.230---------上海教育出版社：由排序原理可推出
包括平均值不等式，柯西不等式等多個重要不等式。
4. 天才之旅 p.61------------有幾個與平行公設等價的定理。
5. 宇宙波瀾(就是Dyson 回憶錄)------------ 天下文化
6. 宇宙的詩篇 p.84--------------------------天下文化
7. 非歐幾里得幾何學 p.32---------------------水牛出版社
8. http：//episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_2_07/page2.html 中國數學史
上的黃金時代及其四個偉大的數學家
9. http：//math1.ck.tp.edu.tw/%E5%BE%90%E5%81%A5%E7%AD%96/math.htm
(徐健策老師專題)
2013年10月11日 星期五
三角函數練習卷
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S203 S204 B3C1平時考
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姓名: 座號:
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一、填充題：
1.
設θ為第二象限角，且 | cos |＝－cos ，則 是第______象限角。
2.
已知＝2，求tanθ＝______。
3.
已知tan 14°＝，求sin (－374° )＝______。
4.
如附圖，若過原點O之直線AB與x軸正向夾角為θ，且 ＝＝3，tanθ＝，則A點坐標為______。
5.
若A之極坐標為〔2 , 135°〕，則其直角坐標為______。
6.
設tan 470°＝k，則以k表示sin (－110° )＝______。
7.
極坐標平面上，P〔3 , 45°〕，Q〔4 , 120°〕，則 2之值為______。
8.
如附圖正方形OABC，O為原點，A ( 4 , 1 )，求B點坐標為______。
9.
ABC中，∠A＝120°，＝24，＝8，試求：
(1) △ABC的面積______；(2) ∠A分角線長______。
(1) △ABC的面積______；(2) ∠A分角線長______。
10.
ABC中，a＝，b＝，c＝，則△ABC面積為______。
11.
如附圖，＝7、＝4、＝5、＝6，則＝_____。
12.
△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的對邊長分別為 a、b、c，△ABC 的三邊滿足 a－2b＋c＝0，2a＋b－2c＝0，則
(1) sin A：sin B：sin C＝ 。
(2) cos A＝ ，sin A＝ 。
(3) △ABC的周長12，求△ABC外接圓的面積＝ 。
(1) sin A：sin B：sin C＝ 。
(2) cos A＝ ，sin A＝ 。
(3) △ABC的周長12，求△ABC外接圓的面積＝ 。
13.
已知sinθ、cosθ為方程式6x2＋2x－3＝0的兩根，試求2 cos2 ( sin＋cos )2＝______。
14.
如附圖，θ為有向角，＝8、＝15，則sin＝_____。
15.
如附圖，角θ終邊上一點 P(－5 ,－12 )，則cos(θ＋60° )＝_____。
16.
在坐標平面上，已知原點O ( 0 , 0 )、A ( 2 , 4
)、B (－3 , 1 )，且∠AOB＝θ，如附圖所示，則sinθ＝______。
17.
如附圖，某河口的兩對岸處A、B。偉敏在通往A處的筆直公路上，距離A處100公尺的C處與距離A處250公尺的D處，依次測得∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，則＝______公尺。
18.
某人隔河測一山高，在A點觀測山時，山的方位為東偏北60°，山頂的仰角為45°，某人自A點向東行600公尺到達B點，山的方位變成在西偏北60°，則山有多高？
答：________公尺。
答：________公尺。
19.
一船由西向正東方航行，在其左舷發現有兩座燈塔A與B。在P點測得A在北15°東方位，B在東30°北方位；該船繼續行駛12 浬到達Q點，再測得A在北45°西方位，B在東60°北方位。試求的長度______浬。
20.
小新站在一山頂俯瞰地面上A、B、C三點（此三點在同一直線上，且不與山腳共線），測得A、B、C三點之俯角分別為30°、45°、60°，且＝5公里，＝3公里，則山高＝______公里。
21.
某人於山麓測得山頂之仰角為45°，由此山麓循30°斜坡上行100公尺再測得山頂之仰角為60°，求山高＝______公尺。
22.
廣場的對角有A、B兩棟高樓 ( 如圖 )：高樓A高25公尺，站在其頂端看高樓B的頂端得仰角α，俯視底部得俯角β。已知cosα＝，sinβ＝，則B的高度為______公尺。
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